Р 50.1.025-2000 Энергосбережение. Методы оценки точности и воспроизводимости результатов испытаний по оценке показателей энергетической эффективности
Р 50.1.025-2000
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ
Энергосбережение
МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ
И ВОСПРОИЗВОДИМОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ
ИСПЫТАНИЙ ПО ОЦЕНКЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ
ГОССТАНДАРТ РОССИИ
Москва
Предисловие
1 РАЗРАБОТАНЫ Всероссийским научно-исследовательским институтом стандартизации и сертификации в машиностроении (ВНИИНМАШ) Госстандарта России
ВНЕСЕНЫ Госстандартом России
2 ПРИНЯТЫ И ВВЕДЕНЫ В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Госстандарта России от 28 декабря 2000 г. № 427-ст
3 ВВЕДЕНЫ ВПЕРВЫЕ
СОДЕРЖАНИЕ
1 Область применения . 1 2 Нормативные ссылки . 2 3 Определения . 2 4 Общие положения . 3 5 Оценка точности прямого измерения с многократными независимыми наблюдениями . 3 6 Оценка точности прямых неравноточных измерений . 4 7 Оценка точности косвенного измерения . 5 8 Оценка воспроизводимости результатов испытаний . 7 Приложение А. Примеры оценки точности и воспроизводимости результатов испытаний . 7 Приложение б. Математико-статистические таблицы .. 11 |
Р 50.1.025-2000
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ
Энергосбережение
МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ И ВОСПРОИЗВОДИМОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ ПО ОЦЕНКЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ
Energy conservation. Methods for estimation of accuracy and reproducibility of test results of energy efficiency indicators of products
Дата введения 2001-07-01
1 Область применения
Настоящие рекомендации устанавливают методы оценки точности и воспроизводимости результатов измерений при испытаниях по оценке показателей энергетической эффективности энергопотребляющей продукции (изделий).
Рекомендации распространяются на технические объекты (машины, оборудование, приборы), к которым в нормативно-технической и конструкторской документации предъявляются требования по оценке показателей энергетической эффективности.
2 Нормативные ссылки
В настоящих рекомендациях использованы ссылки на следующие стандарты:
ГОСТ 8.207-76 Государственная система единства измерений. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения
ГОСТ 16504-81 Система государственных испытаний продукции. Испытания и контроль качества продукции. Основные термины и определения
ГОСТ Р 51387-99 Энергосбережение. Нормативно-методическое обеспечение. Основные положения
ГОСТ Р 51541-99 Энергосбережение. Энергетическая эффективность. Состав показателей. Общие положения
РМГ 29-99 Государственная система обеспечения единства измерений. Метрология. Основные термины и определения
3 Определения
Термины, применяемые в настоящих рекомендациях, и их определения - по РМГ 29, ГОСТ 16504, ГОСТ Р 51387 и ГОСТ Р 51541.
3.1 абсолютная погрешность: Погрешность измерения, выраженная в единицах измеренной величины.
3.2 относительная погрешность: Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеренной величины.
3.3 воспроизводимость результатов испытаний: Характеристика результатов испытаний, определяемая близостью результатов повторных испытаний объекта.
3.4 грубая погрешность: Погрешность измерения, существенно превышающая ожидаемую при данных условиях погрешность.
3.5 группа результатов наблюдений: Совокупность результатов наблюдений, полученная при условиях, которые в соответствии с целью измерения необходимы для получения результата измерения с заданной точностью.
3.6 измерение: Нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств.
3.7 исправленный результат измерения: Результат измерения, получаемый после внесения поправок в неисправленный результат измерения.
3.8 испытания: Экспериментальное определение количественных и (или) качественных характеристик свойств объекта испытаний как результата воздействия на него при его функционировании, при моделировании объекта и (или) воздействий.
3.9 косвенное измерение: Измерение, при котором искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям.
3.10 наблюдение при измерении: Экспериментальная операция, выполняемая в процессе измерений, в результате которой получают одно значение из группы подлежащих совместной обработке для получения результата измерений.
3.11 независимые результаты измерений: Результаты измерений, не содержащие статистических погрешностей.
3.12 неисключенная систематическая погрешность результата измерения: Систематическая погрешность, которая остается неустраненной из результата измерения.
3.13 неравноточные измерения: Измерения, при которых искомое значение величины находят в результате измерений, выполненных в различных условиях (в различных местах, в различное время, разными методами и средствами).
3.14 прямое измерение: Измерение, при котором искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных.
3.15 результат измерения: Значение величины, найденной путем ее измерения.
3.16 систематическая погрешность: Составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины.
3.17 случайная погрешность: Составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.
3.18 точность измерения: Качество измерения, отражающее близость его результата к истинному значению измеряемой величины. Количественно точность может быть выражена обратной величиной модуля относительной погрешности.
4 Общие положения
4.1 При оценке точности измерений при испытаниях следует вычислить:
- результат измерения;
- доверительные границы погрешности результата измерения;
- относительную погрешность результата измерения;
- точность результата измерения.
4.2 Проверку гипотезы, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, выполняют согласно разделу 3 ГОСТ 8.207.
4.3 Доверительную вероятность для определения доверительных границ погрешности результата измерения выбирают согласно разделу 1 ГОСТ 8.207.
5 Оценка точности прямого измерения с многократными независимыми наблюдениями
5.1 Способы обнаружения и исключения из результатов наблюдения известных систематических погрешностей должны быть указаны в методике выполнения измерений.
5.2 При статистической обработке выборки результатов наблюдений А 1 , А2, А3, ..., А n предварительно исключают грубые погрешности.
5.3 При известном среднем квадратическом отклонении s , если результаты наблюдений подчиняются нормальному закону распределения, вычисляют отношение по формуле
(1)
где Ai - результат i -го наблюдения, проверяемый на грубую погрешность;
- выборочное среднее значение результатов наблюдений;
п - число результатов наблюдений.
5.4 Результат t г сравнивают с величиной t ( t p ), которую находят в зависимости от выбранной вероятности появления погрешности Р по таблице Б.1 приложения Б.
Если t г ³ t ( t p ), то проверяемый результат наблюдения должен быть исключен.
Примечани е - Выбор вероятности появления погрешности зависит от конкретных условий решаемой задачи: если принимают очень низкий уровень вероятности, то грубые погрешности в результате могут остаться; если взять уровень вероятности неоправданно большой, то можно неоправданно исключить результаты, необходимые для правильной обработки в качестве грубых погрешностей.
Обычно применяют один из трех уровней вероятности:
5 %-ный уровень - исключаются погрешности, вероятность появления которых меньше Р = 0,95, уровень значимости q = 0,05 ( q = 5 %);
1 %-ный уровень - исключаются погрешности, вероятность появления которых меньше Р = 0,99, уровень значимости q = 0,01 ( q = 1 %);
0,1 %-ный уровень - исключаются погрешности, вероятность появления которых меньше Р = 0,999, уровень значимости q = 0,001 ( q = 0,1 %).
5.5 При неизвестном среднем квадратическом отклонении s , если результаты наблюдений подчиняются нормальному закону распределения, вычисляют отношение по формуле
(2)
где - выборочная оценка среднего квадратического отклонения.
5.6 Результат t i сравнивают с величиной t г , которую находят в зависимости от числа результатов наблюдений п и уровня значимости q по таблице Б.2 приложения Б.
Если t i ³ t г , то проверяемый результат наблюдения может быть исключен.
5.7 За результат Ã прямого измерения принимают среднее арифметическое результатов наблюдений, из которых исключены грубые погрешности.
5.8 Оценку среднего квадратического отклонения S ( A ) результата измерения определяют согласно разделу 2 ГОСТ 8.207.
5.9 Доверительные границы e (без учета знака) случайной погрешности результата прямого измерения определяют согласно разделу 3 ГОСТ 8.207.
5.10 Доверительные границы неисключенной систематической погрешности Θ результата измерения и границы погрешности D (без учета знака) результата прямого измерения определяют согласно разделу 4 ГОСТ 8.207.
5.11 Результат измерения записывают в виде
А = Ã ± D , Р, (3)
где Р - установленная вероятность, с которой погрешность измерения находится в указанных границах.
5.12 Относительную погрешность результата прямого измерения с многократными независимыми δ в процентах наблюдениями определяют по формуле
(4)
6 Оценка точности прямых неравноточных измерений
6.1 Методика прямых неравноточных измерений должна обеспечивать условия, при которых результаты повторных измерений искомой величины были бы между собой независимыми.
6.2 Результаты Ã 1 , Ã2, Ã3, ..., Ã n прямых неравноточных измерений, рассматриваемые как средние значения для групп i 1 , i 2 , i 3 , ..., in равноточных наблюдений и оценки средних квадратических отклонений S (Ã 1 ), S (Ã 2 ), S (Ã 3 ), ..., S (Ã n ) определяют согласно разделу 5.
6.3 Весовые значения Р(Ã i ) соответствующих групп наблюдений определяют по формулам:
..., (5)
где m - коэффициент пропорциональности, любое не равное нулю число, одинаковое для всех групп наблюдений;
п - число групп наблюдений.
6.4 Выбирают приближенное значение Ã 0 искомой величины и вычисляют разности для каждой группы наблюдений по формулам:
à 1 - à 0 = g 1 ,
à 2 - à 0 = g 2 ,
à 3 - à 0 = g 3 , (6)
..................
à n - à 0 = g n ,
Примечание - Значение Ã 0 выбирают так, чтобы все разности g1, g 2 , g 3, ..., g n были положительные, или принимают в качестве Ã 0 меньшее значение результатов измерений Ã 1 , Ã2, Ã3, ..., Ã n . В этом случае одна из разностей g i будет равна нулю.
6.5 Определяют среднее весовое значение Ã p результата измерения по формуле
(7)
6.6 Вычисляют уклонения v (Ã i ) по формулам:
v (Ã1) = Ã1 - Ãp ,
v (Ã2) = Ã2 - Ãp ,
v (Ã3) = Ã3 - Ãp , (7)
....................
v (Ãn) = Ãn - Ãp .
6.7 Оценивают среднее квадратическое отклонение S (Ã p ) среднего весового значения результата измерения
(9)
где n - число групп наблюдений.
6.8 Доверительные границы e (Ã p ) без учета знака случайной погрешности результата измерения искомой величины находят по формуле
e (Ãp) = t (P) · S (Ãp) , (10)
где t ( P ) - значение коэффициента Стьюдента, который в зависимости от доверительной вероятности Р и числа групп наблюдений п находят по таблице Б.3 приложения Б.
6.9 Результат измерения записывают в виде
A = Ã p ± e (Ãp) , P, (11)
где Р - доверительная вероятность, с которой случайная погрешность измерения находится в указанных границах.
6.10 Относительную погрешность прямых неравноточных измерений искомой величины А в процентах определяют по формуле
(12)
7 Оценка точности косвенного измерения
7.1 Среднее значение искомой величины при косвенном измерении определяют по формуле
(13)
где - результат косвенного измерения;
... - результаты прямых измерений величин А, В , С, ...
7.2 Методика прямых измерений величин А , В, С, ... для косвенного измерения величины Z должна обеспечивать условия, при которых результаты измерения одной и той же величины и (или) разных величин были бы между собой независимыми.
7.3 Результаты прямых измерений и оценки средних квадратических отклонений S (Ã), S ( ), S ( ), ... результатов прямых измерений величин А , В, С, ... определяют согласно разделу 5.
7.4 Результат косвенного измерения величины Z определяют путем подстановки аргументов (результатов прямых измерений величин А , В, С, ...) в функциональное выражение для величины Z по формуле ( 13).
7.5 Доверительные границы e (Ã), e ( ), e ( ), ... (без учета знака) случайных погрешностей результатов прямых измерений при одном и том же значении доверительной вероятности Р определяют согласно разделу 3 ГОСТ 8.207 по формулам:
e (Ã) = t(P, n) · S (Ã) ,
e ( ) = t(P, m) · S ( ) , (14)
e ( ) = t(P, l) · S ( ) ,
.................................
где п , т, l , ... - число результатов наблюдений величин А , В, С, ...;
t - коэффициент Стьюдента, который находят в зависимости от доверительной вероятности Р и числа результатов наблюдений п , т, l , ... по таблице Б.3 приложения Б.
7.6 Определяют частные производные, взятые в точке, соответствующей полученным результатам прямых измерений величин А , В, С, ... по формулам:
( 15)
7.7 При отсутствии корреляции между случайными погрешностями прямых измерений величин А , В, С, ... оценку среднего квадратического отклонения косвенного измерения определяют по формуле
(16)
7.8 При наличии корреляции между случайными погрешностями прямых измерений величин А , В, С, ... случайную погрешность косвенного измерения определяют по формуле
(17)
где r AB - коэффициент корреляции между случайными погрешностями прямых измерений (в данном случае - величин А и В ).
Коэффициенты корреляции между случайными погрешностями прямых измерений вычисляют по формулам:
(18)
где Ai , Bi , С i - результаты наблюдений величин А , В, С, ... ;
N - число результатов наблюдений.
Примечания
1 Корреляция между случайными погрешностями прямых измерений чаще всего возникает в случаях, когда измерения выполняются одновременно, и изменения влияющих величин (температуры, влажности воздуха, напряжения питания и т.п.) оказывают влияние на результаты измерения. Если параметры измеряют в разное время и для их измерения применяют разные по устройству средства измерения, то нет оснований ожидать появления корреляции.
2 При | r | < 0,2 корреляционную зависимость считают отсутствующей.
7.9 Результат косвенного измерения Z записывают в виде
Z = ± e ( ), P , (19)
где Р - доверительная вероятность, с которой случайная погрешность измерения находится в указанных границах.
7.10 Относительную погрешность косвенного измерения δ в процентах определяют по формуле
(20)
8 Оценка воспроизводимости результатов испытаний
8.1 Результаты Ã 1 , Ã2, Ã3, ..., Ã N прямых измерений величины А , рассматриваемые как средние значения для выборок i 1 , i 2 , i 3 , ..., i N независимых наблюдений при повторных испытаниях объекта и оценки средних квадратических отклонений S (Ã 1 ), S (Ã 2 ), S (Ã 3 ), ..., S (Ã N ) результатов прямых измерений определяют согласно разделу 5.
Примечание - Все оценки средних квадратических отклонений получают по выборкам одинакового объема n , и число степеней свободы k = п - 1 для всех измерений одинаково.
8.2 Определяют оценки дисперсий результатов прямых измерений S 2 (Ã 1 ), S 2 (Ã 2 ), S 2 (Ã 3 ), ..., S 2 (Ã N )
8.3 Выбирают наибольшую по величине из оценок дисперсий результатов прямых измерений S 2 (Ã i ) max .
8.4 Вычисляют эмпирическое значение критерия Кохрена G по формуле
(21)
где S2(Ã i ) = S2(Ã 1 ) + S2(Ã 2 ) + S2(Ã 3 ) + ... + S 2 (Ã N ) - сумма оценок дисперсий результатов прямых измерений;
N - число оценок дисперсий результатов прямых измерений (число повторных испытаний).
8.5 Проверяют воспроизводимость результатов испытаний по формуле
G £ GT(q, k, N), (22)
где G T - критерий Кохрена, который в зависимости от уровня значимости q , числа степеней свободы k и числа оценок дисперсий N находят по таблице Б.4 или Б.5 приложения Б.
8.6 Если проверка воспроизводимости дала положительный результат (неравенство ( 25) выполняется), то делают вывод о равенстве генеральных дисперсий s 2 (Ã 1 ) = s 2 (Ã 2 ) = s 2 (Ã 3 ) = ... = s 2 (Ã N ) результатов измерений при повторных испытаниях.
8.7 Если проверка воспроизводимости дала отрицательный результат (неравенство ( 22) не выполняется), то следует увеличить точность измерения с максимальной оценкой дисперсии S 2 (Ã i ) max либо увеличить число повторных испытаний N.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
(справочное)
Примеры оценки точности и воспроизводимости результатов испытаний
Пример 1 (к разделу 5 )
Результаты 41 наблюдения величины силы тока со средним значением = 6,500 А содержат значение х max = 6,866 А, максимально отличающееся от других.
Известно среднее квадратическое отклонение s = 0,133. Результаты наблюдений подчиняются нормальному закону распределения. Оцениваем результат наблюдения х max .
Определяем разность между х max и средним значением .
х max - = 6,866 - 6,500 = 0,366 А.
Вычисляем отношение
Выбираем 1 %-ный уровень значимости q = 0,01 ( P = 0,99).
По таблице Б. 1 приложения Б находим для Р = 0,99 значение t ( t p ) = 2,576.
Значение t г > t ( t p ) 2,79 > 2,576, следовательно значение х max содержит грубую погрешность и из дальнейшей обработки исключается.
Пример 2 (к разделу 5)
Результаты 10 наблюдений величины силы тока приведены в таблице А.1.
Таблица А.1
Номер наблюдения |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Результат наблюдения I, А |
10,07 |
10,08 |
10,10 |
10,12 |
10,13 |
10,15 |
10,16 |
10,17 |
10,20 |
10,40 |
Среднее квадратическое отклонение неизвестно. Результаты наблюдений подчиняются нормальному закону распределения.
Результат наблюдения № 10 резко отличается от остальных. Оцениваем результат наблюдения № 10.
Выборочное среднее
Выборочная оценка среднего квадратического
По таблице Б.2 приложения Б для п = 10 и уровня значимости q = 1 % определяем теоретическое значение t г = 2,616; так как t 10 = 2,55 < t г = 2,616, то наблюдение № 10 исключить нельзя.
Пример 3 (к разделу 5 )
Результаты 20 независимых наблюдений расхода топлива приведены в таблице А.2.
Таблица А.2
Номер наблюдения |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Результат наблюдения G , г/с |
76,3 |
74,7 |
75,7 |
75,5 |
75,7 |
76,0 |
75,3 |
74,9 |
75,5 |
75,4 |
Окончание таблицы А.2
Номер наблюдения |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
Результат наблюдения G , г/с |
75,3 |
75,1 |
75,5 |
75,4 |
75,8 |
75,9 |
74,9 |
75,7 |
75,3 |
77,1 |
Неисключенные систематические погрешности составляют:
D Θ1 = ±0,5 г/с; D Θ2 = ±0,3 г/с.
Проверка гипотезы аномальности результатов наблюдений показала, что 20 наблюдение необходимо исключить.
Вычисляем среднее арифметическое 19 наблюдений
г/с.
Известная систематическая погрешность D G = 0,2 г/с.
Вычисляем исправленное значение результата измерения
= - D G = 75,5 - 0,2 = 75,3 г/с.
Вычисляем оценку среднего квадратического отклонения результата измерения
Для доверительной вероятности Р = 0,95 ( q = 0,05) и числа наблюдений п = 19 по таблице Б.3 приложения Б выбираем коэффициент Стьюдента t = 2,10.
Вычисляем доверительные границы ε случайной погрешности
e = ± t · S * ( ) = 2,01 · 0,1 = ±0,2 г/с.
Вычисляем доверительные границы суммарной систематической погрешности.
Для доверительной вероятности Р = 0,95 принимаем k = 1,1.
г/с.
Вычисляем оценку суммарного среднего квадратического отклонения
Вычисляем коэффициент К
Доверительные границы погрешности измерения:
D = К · S Σ = 1,82 · 0,35 = ±0,64 г/с.
Результат измерения расхода топлива:
G = ± D , Р = 75,3 ± 0,64 г/с (0,95).
Относительная погрешность измерения:
Пример (к разделу 6)
Результаты шести групп неравноточных измерений расхода электрической энергии приведены в таблице А.3.
Таблица А.3
Номер группы |
Результат измерения i , кВт ·ч |
Оценка среднего квадратического отклонения S( i ) |
Весовые значения групп наблюдений
|
Разности групп g i = ( i - 0 ) × 10-3, кВт ·ч |
Уклонение v i, кВт·ч |
1 |
71,729 |
6,3 |
0,25 |
+12 |
+0,003 |
2 |
71,722 |
8,4 |
0,14 |
+5 |
-0,004 |
3 |
71,717 |
9,1 |
0,12 |
0 |
-0,009 |
4 |
71,732 |
4,3 |
0,54 |
+15 |
-0,006 |
5 |
71,730 |
5,2 |
0,37 |
+13 |
+0,004 |
6 |
71,720 |
7,5 |
0,18 |
+ 3 |
-0,006 |
Определяем весовые значения Р ( ) соответствующих групп наблюдений
Принимаем коэффициент пропорциональности т = 10. Результат вычислений заносим в таблицу А.3. Выбираем приближенное значение расхода электрической энергии, равное результату третьей группы измерений = = 71,717 кВт·ч, и вычисляем разности для каждой группы измерений
- = g i .
Результат записываем в таблицу А.3.
Определяем среднее весовое значение расхода электрической энергии
кВт·ч.
Вычисляем уклонения v i = = . Результаты заносим в таблицу А.3.
Оцениваем среднее квадратическое отклонение S ( )
Определяем доверительные границы e случайной погрешности результата измерения:
e = t(P) · S( ).
Выбираем значение коэффициента Стьюдента t (Р) по таблице Б.3 приложения Б для n = 6 и доверительной вероятности Р = 0,95 t (0,95) = 2,57.
Вычисляем e = 2,57 · 0,0024 = ±0,0062 кВтч.
Результат измерения расхода электрической энергии записываем в виде W = 71,726 ± 0,0062 кВт·ч (0,95).
Относительная погрешность измерения:
Пример (к разделу 7)
Определяем активное сопротивление и случайную погрешность параллельно включенных обмоток потребителя электрической энергии по результатам прямых независимых измерений сопротивления обмоток, если r 1 = 12 Ом, e ( r 1 ) = ±1,0 Ом, Р = 0,95, r 2 = 15 Ом, e ( r 2 ) = ±0,5 Ом, Р = 0,95.
Результаты косвенного измерения:
Ом
Частные производные, взятые в точке, соответствующей полученным результатам прямых измерений:
Корреляция между случайными погрешностями прямых измерений сопротивлений обмоток отсутствует.
Случайная погрешность косвенного измерения:
Результат косвенного измерения:
R = 6,67 ± 0,6 Ом (0,95).
Относительная погрешность косвенного измерения:
Пример (к разделу 8)
Определяем воспроизводимость результатов повторных измерений расхода электрической энергии, полученных по выборкам одинакового объема n = 3.
Результаты измерений:
= 27,5 кВт·ч; = 16,5 кВт·ч; = 22,5 кВт·ч; = 13,5 кВтч.
Оценки средних квадратических отклонений результатов измерений:
S ( ) = 0,708; S ( ) = 0,849; S ( ) = 0,565; S ( ) = 0,142.
Оценки дисперсий результатов измерений:
S 2 ( ) = 0,7082 = 0,50; S 2 ( ) = 0,8492 = 0,72;
S 2 ( ) = 0,5652 = 0,32; S 2 ( ) = 0,1422 = 0,02.
Наибольшая по величине из оценок дисперсий:
S 2 ( ) max = S 2 ( ) = 0,72.
Эмпирическое значение критерия Кохрена, G .
Оценка воспроизводимости результатов испытаний по значению критерия Кохрена G T из таблицы Б.4 приложения Б для уровня q = 0,05, k = п - 1 = 3 - 1 = 2, N = 4:
G T = 0,4615 < G (0,05, 2, 4) = 0,7679.
Результаты испытаний воспроизводимы.
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
(справочное)
Математико-статистические таблицы
Т аблица Б.1 - Значения функции Лапласа
Значения: 1 - 2Ф ( t ) для t > 2,5;
1 - 2Ф(х) для х > 2,5
t |
Ф (t) |
1 - 2 Ф (t) |
1 - p |
t (tp) |
p |
2,5 |
0,49379000 |
0,01242000 |
0,0500 |
1,960 |
0,9500 |
2,6 |
0,49534000 |
0,00932000 |
0,0400 |
2,054 |
0,9600 |
2,7 |
0,49653000 |
0,00693000 |
0,0300 |
2,170 |
0,9700 |
2,8 |
0,49744000 |
0,00511000 |
0,0200 |
2,326 |
0,9800 |
2,9 |
0,49813000 |
0,00373000 |
0,0100 |
2,576 |
0,9900 |
3,0 |
0,49865000 |
0,00270000 |
0,0090 |
2,612 |
0,9910 |
3,1 |
0,49903000 |
0,00194000 |
0,0080 |
2,652 |
0,9920 |
3,2 |
0,49937000 |
0,00137000 |
0,0070 |
2,697 |
0,9930 |
3,3 |
0,49952000 |
0,00097000 |
0,0060 |
2,748 |
0,9940 |
3,4 |
0,49966000 |
0,00067000 |
0,0050 |
2,807 |
0,9950 |
3,5 |
0,49976700 |
0,00046500 |
0,0040 |
2,878 |
0,9960 |
3,6 |
0,49984100 |
0,00031800 |
0,0030 |
2,968 |
0,9970 |
3,7 |
0,49989200 |
0,00021600 |
0,0020 |
3,090 |
0,9980 |
3,8 |
0,49992700 |
0,00014500 |
0,0010 |
3,291 |
0,9990 |
3,9 |
0,49995200 |
0,00009600 |
0,0009 |
3,320 |
0,9991 |
4,0 |
0,49996800 |
0,00006300 |
0,0008 |
3,353 |
0,9992 |
4,1 |
0,49997900 |
0,00004100 |
0,0007 |
3,390 |
0,9993 |
4,2 |
0,49998700 |
0,00002700 |
0,0006 |
3,432 |
0,9994 |
4,3 |
0,49999100 |
0,00001700 |
0,0005 |
3,481 |
0,9995 |
4,4 |
0,49999500 |
0,00001100 |
0,0004 |
3,540 |
0,9996 |
4,5 |
0,49999966 |
0,00000680 |
0,0003 |
3,615 |
0,9997 |
4,6 |
0,49999979 |
0,00000410 |
0,0002 |
3,720 |
0,9998 |
4,7 |
0,49999987 |
0,00000250 |
0,0001 |
3,891 |
0,9999 |
4,8 |
0,49999992 |
0,00000160 |
10-5 |
4,417 |
1 · 10-5 |
4,9 |
0,49999995 |
0,00000009 |
10-6 |
4,892 |
1 · 10-6 |
5,0 |
0,49999997 |
0,00000006 |
10-7 |
5,327 |
1 · 10-7 |
Таблица Б.2 - Значения q -процентных точек распределения максимальных по модулю отношений результатов наблюдений от их среднего значения
Число наблюдений n |
Значение t г при уровнях значимости q , % |
||||
0,1 |
0,5 |
1,0 |
5,0 |
10 |
|
3 |
1,414 |
1,414 |
1,414 |
1,414 |
1,412 |
4 |
1,732 |
1,730 |
1,728 |
1,710 |
1,689 |
5 |
1,994 |
1,982 |
1,972 |
1,917 |
1,869 |
6 |
2,212 |
2,183 |
2,161 |
2,067 |
1,996 |
7 |
2,395 |
2,344 |
2,310 |
2,182 |
2,093 |
8 |
2,547 |
2,476 |
2,431 |
2,273 |
2,172 |
9 |
2,677 |
2,586 |
2,532 |
2,349 |
2,238 |
10 |
2,788 |
2,680 |
2,616 |
2,414 |
2,294 |
11 |
2,884 |
2,760 |
2,689 |
2,470 |
2,343 |
12 |
2,969 |
2,830 |
2,753 |
2,519 |
2,387 |
13 |
3,044 |
2,892 |
2,809 |
2,563 |
2,426 |
14 |
3,111 |
2,947 |
2,859 |
2,602 |
2,461 |
15 |
3,171 |
2,997 |
2,905 |
2,638 |
2,494 |
16 |
3,225 |
3,042 |
2,946 |
2,670 |
2,523 |
17 |
3,274 |
3,083 |
2,983 |
2,701 |
2,551 |
18 |
3,320 |
3,120 |
3,017 |
2,728 |
2,577 |
19 |
3,361 |
3,155 |
3,049 |
2,754 |
2,601 |
20 |
3,400 |
3,187 |
3,079 |
2,779 |
2,623 |
21 |
3,436 |
3,217 |
3,106 |
2,801 |
2,644 |
22 |
3,469 |
3,245 |
3,132 |
2,823 |
2,664 |
23 |
3,500 |
3,271 |
3,156 |
2,843 |
2,683 |
24 |
3,529 |
3,295 |
3,179 |
2,862 |
2,701 |
25 |
3,556 |
3,318 |
3,200 |
2,880 |
2,718 |
26 |
3,582 |
3,340 |
3,220 |
2,897 |
2,734 |
27 |
3,606 |
3,360 |
3,239 |
2,913 |
2,749 |
28 |
3,629 |
3,380 |
3,258 |
2,929 |
2,764 |
29 |
3,651 |
3,399 |
3,275 |
2,944 |
2,778 |
30 |
3,672 |
3,416 |
3,291 |
2,958 |
2,792 |
Таблица Б.3 - Коэффициент распределения Стьюдента t
Число наблюдений п |
Значение t при доверительной вероятности Р или a |
||||
0,900 |
0,950 |
0,980 |
0,990 |
0,999 |
|
2 |
6,31 |
12,71 |
31,82 |
63,68 |
636,62 |
3 |
2,92 |
4,30 |
6,97 |
9,93 |
31,60 |
4 |
2,35 |
3,18 |
4,54 |
5,84 |
12,92 |
5 |
2,13 |
2,78 |
3,75 |
4,60 |
8,61 |
6 |
2,02 |
2,57 |
3,37 |
4,06 |
6,87 |
7 |
1,94 |
2,45 |
3,14 |
3,71 |
5,96 |
8 |
1,90 |
2,37 |
3,00 |
3,50 |
5,41 |
9 |
1,86 |
2,31 |
2,90 |
3,36 |
5,04 |
10 |
1,83 |
2,26 |
2,82 |
3,25 |
4,78 |
11 |
1,81 |
2,23 |
2,76 |
3,17 |
4,59 |
12 |
1,80 |
2,20 |
2,72 |
3,11 |
4,44 |
13 |
1,78 |
2,18 |
2,68 |
3,06 |
4,32 |
14 |
1,77 |
2,16 |
2,65 |
3,01 |
4,22 |
15 |
1,76 |
2,15 |
2,62 |
2,98 |
4,14 |
16 |
1,75 |
2,13 |
2,60 |
2,95 |
4,07 |
17 |
1,75 |
2,12 |
2,58 |
2,92 |
4,02 |
18 |
1,74 |
2,11 |
2,57 |
2,90 |
3,97 |
19 |
1,73 |
2,10 |
2,55 |
2,88 |
3,92 |
20 |
1,73 |
2,09 |
2,54 |
2,86 |
3,88 |
∞ |
1,65 |
1,96 |
2,33 |
2,58 |
3,29 |
Таблица Б.4 - Верхние односторонние пределы для величины G кр в зависимости от чисел степеней свободы ( k ) и чисел оценок дисперсии ( N ) для G -распределения Кохрена при уровне значимости q = 0,05
Число оценок дисперсии N |
Число степеней свободы k |
|||||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
16 |
36 |
144 |
∞ |
|
2 |
0,9985 |
0,9750 |
0,9392 |
0,9057 |
0,8584 |
0,8534 |
0,8332 |
0,8159 |
0,8010 |
0,7880 |
0,7341 |
0,6602 |
0,5813 |
0,5000 |
3 |
0,9669 |
0,8709 |
0,7977 |
0,7457 |
0,7071 |
0,6771 |
0,6530 |
0,6333 |
0,6167 |
0,6025 |
0,5466 |
0,4748 |
0,4031 |
0,3333 |
4 |
0,9065 |
0,7679 |
0,6841 |
0,6287 |
0,5895 |
0,5598 |
0,5365 |
0,5175 |
0,5017 |
0,4884 |
0,4366 |
0,3720 |
0,3093 |
0,2500 |
5 |
0,8412 |
0,6838 |
0,5981 |
0,5440 |
0,5063 |
0,4783 |
0,4564 |
0,4387 |
0,4241 |
0,4118 |
0,3645 |
0,3060 |
0,2513 |
0,2000 |
6 |
0,7808 |
0,6161 |
0,6321 |
0,4803 |
0,4447 |
0,4148 |
0,3980 |
0,3817 |
0,3682 |
0,3568 |
0,3135 |
0,2612 |
0,2119 |
0,1667 |
7 |
0,7271 |
0,5612 |
0,4800 |
0,4307 |
0,3907 |
0,3726 |
0,3555 |
0,3384 |
0,3254 |
0,3154 |
0,2756 |
0,2273 |
0,1833 |
0,1429 |
8 |
0,6798 |
0,5157 |
0,4377 |
0,3910 |
0,3595 |
0,3362 |
0,3185 |
0,3043 |
0,2926 |
0,2829 |
0,2462 |
0,2020 |
0,1516 |
0,1250 |
9 |
0,6385 |
0,4775 |
0,4027 |
0,3584 |
0,3286 |
0,3067 |
0,2901 |
0,2768 |
0,2659 |
0,2568 |
0,2226 |
0,1820 |
0,1446 |
0,1111 |
10 |
0,6020 |
0,4450 |
0,3733 |
0,3311 |
0,3029 |
0,2823 |
0,2666 |
0,2541 |
0,2439 |
0,2353 |
0,2032 |
0,1655 |
0,1308 |
0,1000 |
12 |
0,6410 |
0,3924 |
0,3264 |
0,2880 |
0,2624 |
0,2439 |
0,2299 |
0,2187 |
0,2098 |
0,2020 |
0,1737 |
0,1403 |
0,1100 |
0,0833 |
15 |
0,4709 |
0,3346 |
0,2758 |
0,2419 |
0,2195 |
0,2034 |
0,1911 |
0,1315 |
0,1736 |
0,1671 |
0,1429 |
0,1144 |
0,0889 |
0,0667 |
20 |
0,3894 |
0,2705 |
0,2205 |
0,1921 |
0,1835 |
0,1602 |
0,1601 |
0,1422 |
0,1357 |
0,1303 |
0,1108 |
0,0879 |
0,0675 |
0,0500 |
24 |
0,3434 |
0,2354 |
0,1907 |
0,1656 |
0,1493 |
0,1374 |
0,1286 |
0,1216 |
0,1160 |
0,1113 |
0,0942 |
0,0743 |
0,0567 |
0,0417 |
30 |
0,2929 |
0,1980 |
0,1593 |
0,1377 |
0,1237 |
0,1137 |
0,1061 |
0,1002 |
0,0958 |
0,0921 |
0,0771 |
0,0604 |
0,0457 |
0,0337 |
40 |
0,2370 |
0,1576 |
0,1259 |
0,1082 |
0,0968 |
0,0887 |
0,0827 |
0,0780 |
0,0745 |
0,0713 |
0,0595 |
0,0462 |
0,0347 |
0,0250 |
60 |
0,1737 |
0,1131 |
0,0895 |
0,0766 |
0,0682 |
0,0623 |
0,0583 |
0,0552 |
0,0520 |
0,0487 |
0,0411 |
0,0316 |
0,0234 |
0,0167 |
120 |
0,0998 |
0,0632 |
0,0495 |
0,0419 |
0,0371 |
0,0337 |
0,0312 |
0,0292 |
0,0279 |
0,0266 |
0,0218 |
0,0165 |
0,0120 |
0,0083 |
∞ |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
Таблица Б.5 - Верхние односторонние пределы для величины G кр в зависимости от чисел степеней свободы ( k ) и чисел оценок дисперсии ( N ) для G -распределения Кохрена при уровне значимости q = 0,01
Число оценок дисперсии N |
Число степеней свободы k |
|||||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
16 |
36 |
144 |
∞ |
|
2 |
0,9999 |
0,9950 |
0,9794 |
0,9586 |
0,9373 |
0,9172 |
0,8988 |
0,8823 |
0,8674 |
0,8539 |
0,7949 |
0,7067 |
0,6062 |
0,5000 |
3 |
0,9933 |
0,9433 |
0,8831 |
0,8355 |
0,7933 |
0,7606 |
0,7335 |
0,7107 |
0,6912 |
0,6743 |
0,6059 |
0,5153 |
0,4230 |
0,3333 |
4 |
0,9676 |
0,8643 |
0,7814 |
0,7212 |
0,6761 |
0,6410 |
0,6129 |
0,6897 |
0,6702 |
0,5536 |
0,4884 |
0,4057 |
0,3451 |
0,2500 |
5 |
0,9279 |
0,7885 |
0,0957 |
0,6329 |
0,5875 |
0,5531 |
0,5259 |
0,5037 |
0,4854 |
0,4697 |
0,4090 |
0,3351 |
0,2644 |
0,2500 |
6 |
0,8828 |
0,7218 |
0,6258 |
0,5635 |
0,5195 |
0,4866 |
0,4608 |
0,4401 |
0,4229 |
0,4084 |
0,3529 |
0,2858 |
0,2229 |
0,1667 |
7 |
0,8376 |
0,6644 |
0,5685 |
0,5080 |
0,4659 |
0,4347 |
0,4105 |
0,3911 |
0,3751 |
0,3616 |
0,3105 |
0,2494 |
0,1929 |
0,1429 |
8 |
0,7954 |
0,6162 |
0,5209 |
0,4627 |
0,4226 |
0,3932 |
0,3704 |
0,3522 |
0,3373 |
0,3248 |
0,2779 |
0,2241 |
0,1700 |
0,1260 |
9 |
0,7544 |
0,5727 |
0,4810 |
0,4251 |
0,3870 |
0,3592 |
0,3378 |
0,3207 |
0,3067 |
0,2950 |
0,2514 |
0,1992 |
0,1521 |
0,1111 |
10 |
0,7175 |
0,5358 |
0,4469 |
0,3934 |
0,3572 |
0,3308 |
0,3106 |
0,2945 |
0,2813 |
0,2704 |
0,2297 |
0,1811 |
0,1376 |
0,1000 |
12 |
0,6528 |
0,4751 |
0,3919 |
0,3428 |
0,3099 |
0,2861 |
0,2680 |
0,2535 |
0,2419 |
0,2320 |
0,1961 |
0,1535 |
0,1157 |
0,0833 |
15 |
0,5747 |
0,4069 |
0,3317 |
0,2882 |
0,2593 |
0,2386 |
0,2228 |
0,2104 |
0,2002 |
0,1918 |
0,1612 |
0,1251 |
0,0934 |
0,0667 |
20 |
0,4799 |
0,3297 |
0,2654 |
0,2288 |
0,2048 |
0,1877 |
0,1748 |
0,1646 |
0,1567 |
0,1501 |
0,1248 |
0,0960 |
0,0709 |
0,0500 |
24 |
0,4247 |
0,2871 |
0,2295 |
0,1970 |
0,1759 |
0,1608 |
0,1495 |
0,1406 |
0,1338 |
0,1283 |
0,1060 |
0,0810 |
0,0595 |
0,0417 |
30 |
0,3632 |
0,2412 |
0,1913 |
0,1635 |
0,1454 |
0,1327 |
0,1232 |
0,1157 |
0,1100 |
0,1054 |
0,0867 |
0,0658 |
0,0480 |
0,0333 |
40 |
0,2940 |
0,1915 |
0,1508 |
0,1281 |
0,1135 |
0,1033 |
0,0957 |
0,0898 |
0,0853 |
0,0816 |
0,0668 |
0,0503 |
0,0363 |
0,0250 |
60 |
0,2151 |
0,1371 |
0,1069 |
0,0902 |
0,0796 |
0,0722 |
0,0668 |
0,0625 |
0,0594 |
0,0567 |
0,0461 |
0,0344 |
0,0245 |
0,0167 |
120 |
0,1252 |
0,0759 |
0,0585 |
0,0489 |
0,0429 |
0,0387 |
0,0357 |
0,0334 |
0,0316 |
0,0302 |
0,0242 |
0,0178 |
0,0125 |
0,0083 |
∞ |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
Ключевые слова: точность, воспроизводимость, испытания, показатели энергетической эффективности